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Janbu

O método de Janbu baseia-se na análise do estado de equilíbrio limite. Este método implica que o equilíbrio de forças e momentos seja verificada para cada bloco (excluindo o bloco superior, onde o equilíbrio de momentos não é verificado). Os blocos consistem na divisão do perfil do talude através de planos divisores. As forças atuam em cada bloco de acordo com a seguinte figura:

Esquema das forças atuantes - Método de Janbu

Cada bloco estará sujeito às forças seguintes:

Para calcular o equilíbrio de forças e momentos limite através do método de Janbu, são consideradas as seguintes premissas:

• os planos que divisores dos blocos são sempre verticais
• a linha de ação do peso do bloco W_i atravessa o centro do i^ésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto M
• a força normal N_i atua no centro do i^ésimo segmento da superfície de deslizamento, representado pelo ponto M
• a posição z_i das forças E_i atuantes entre blocos é para os limites da superfície de deslizamento é assumida como z = 0

A escolha da posição z_i pode influenciar significativamente a convergência do método. Caso seja adotada uma má posição z_i para um dado talude, poderá ser impossível verificar as condições de equilíbrio (algoritmo não convergente). As alturas z_i acima da superfície de deslizamento são definidas para aproximadamente um terço da altura da interface entre blocos. No caso das condições de equilíbrio não serem satisfeitas, o algoritmo altera as alturas, ex.: ligeiramente acima, dentro da zona passiva, próximo da base do talude; ligeiramente abaixo, dentro da zona ativa, próximo do topo do talude.

A solução assenta nas seguintes equações:

A Equação (1) representa a relação entre os valores efetivo e total da força normal atuante na superfície de deslizamento. A Equação (2) corresponde à condição de Mohr-Coulomb que representa a relação entre as forças normal e de cisalhamento para um dado segmento da superfície de deslizamento. A Equação (3) representa a equação de equilíbrio de forças com direção normal ao i^ésimo segmento da superfície de deslizamento, enquanto que a Equação (4) representa o equilíbrio no i^ésimo segmento da superfície de deslizamento. FS é o fator de segurança, que é utilizado para reduzir os valores das características do solo. A Equação (5) corresponde à equação de equilíbrio de momentos em relação ao ponto M, onde y_gi é a coordenada vertical do ponte de aplicação do peso do bloco e y_M é a coordenada vertical do ponto M.

A partir das Equações (3) e (4) obtém-se a seguinte equação:

Esta fórmula permite calcular todas as forças E_i que atuam entre blocos, para os valores de δ_i e FS considerados. Esta solução assume que o valor de E para a origem da superfície de deslizamento é conhecido e igual a E₁ = 0.

A partir da Equação (5) de equilíbrio de momentos obtém-se a seguinte Equação (7), para calcular os ângulos δ_i:

Esta equação permite calcular, para um dado valor de δ, todos os braços z_i das forças atuantes entre blocos, conhecendo o valor à esquerda da origem da superfície de deslizamento, onde z₁ = 0.

O fator de segurança FS é determinado através do seguinte processo iterativo:

1. O valor inicial para os ângulos é definido como zero δ_i = 0 e as posições z_i como aproximadamente um terço da altura da interface.
2. O fator de segurança FS para um dado valor de δ_i é obtido através da Equação (6), assumindo o valor de E_n+1 = 0 para o limite da superfície de deslizamento.
3. O valor de δ_i é obtido através da Equação (7), considerando os valores de E_i determinados no passo anterior.
4. O passos 2 e 3 são repetidos até que o valor de FS não se altere.

É necessário evitar soluções instáveis para que o processo iterativo seja bem sucedido. As instabilidade podem ocorrer quando existem divisões por zero na Equação (6):

Outra verificação que deve ser verificada para prevenir a instabilidade numérica é a do parâmetro m_α  - a seguinte condição deve ser verificada:

Assim, antes de iniciar o processo iterativo, é necessário obter o valor mais crítico FS_min que satisfaça todas as condições referidas. Os valores inferiores a este valor crítico FS_min representam soluções instáveis, sendo que o processo iterativo terá início com a definição de FS como um valor imediatamente acima de FS_min e, consequentemente, todos os valores de FS do processo iterativo serão superiores a FS_min.

Geralmente, a convergência de métodos rigorosos é pior que a de métodos mais simples (Bishop, Fellenius). Como exemplos, os problemas de convergência podem ser encontrados para secções demasiado inclinadas de superfícies de deslizamento, geometrias complexas, variações de sobrecargas elevadas, etc. Caso não seja obtido nenhum resultado, é recomendável uma ligeira alteração nos dados introduzidos, ex.: inclinação da superfície de deslizamento menos acentuada, introduzir mais pontos na superfície de deslizamento, etc, ou recorrer a métodos mais simples.

Bibliografia:

Janbu, N. 1954. Application of Composite Slip Surface for Stability Analysis. European Conference on Stability Analysis, Stockholm, Sweden.

Janbu, N. 1973. Slope Stability Computations. Embankment Dam Engineering - Casagrande Volume, R.C. Hirschfeld and S.J. Poulos, eds., John Wiley and Sons, New York, pp 47-86.